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设数列的前n项和Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,……n),a,b是常数,且b≠0,求证:是等差数列
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设数列的前n项和Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,……n),a,b是常数,且b≠0,求证:是等差数列
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答案和解析
A1=S1=a
A2=S2-A1=2a+2b-a=a+2b
A3=S3-A2-A1=3a+3*2b-a-2b-a=a+4b
An=Sn-S(n-1)=na+n(n-1)b-(n-1)a-(n-1)(n-2)b=a+(2n-2)b(n>1)
A(n-1)=S(n-1)-S(n-2)=(n-1)a+(n-1)(n-2)b-(n-2)a-(n-2)(n-3)b=a+(2n-4)b(n>2)
所以An-A(n-1)=2b≠0(n>2) 即当n>2时An为等差数列An=(a+4b)+(n-3)*2b=a-2b+2nb
当n=1时A1=a=a-2b+2b,A1满足通项公式
当n=2时A2=a+2b=a-2b+2*2b,A2也满足通项公式
即对任意的n,An为等差数列
A2=S2-A1=2a+2b-a=a+2b
A3=S3-A2-A1=3a+3*2b-a-2b-a=a+4b
An=Sn-S(n-1)=na+n(n-1)b-(n-1)a-(n-1)(n-2)b=a+(2n-2)b(n>1)
A(n-1)=S(n-1)-S(n-2)=(n-1)a+(n-1)(n-2)b-(n-2)a-(n-2)(n-3)b=a+(2n-4)b(n>2)
所以An-A(n-1)=2b≠0(n>2) 即当n>2时An为等差数列An=(a+4b)+(n-3)*2b=a-2b+2nb
当n=1时A1=a=a-2b+2b,A1满足通项公式
当n=2时A2=a+2b=a-2b+2*2b,A2也满足通项公式
即对任意的n,An为等差数列
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