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一个自然数若能表示为两个自然数的平方差,则这个自然数为“智慧数”.比如:22-12=3,3就是智慧数,22-02=4,4就是智慧数.从0开始第8个智慧数是,不大于2014的智慧数共有.
题目详情
一个自然数若能表示为两个自然数的平方差,则这个自然数为“智慧数”.比如:22-12=3,3就是智慧数,22-02=4,4就是智慧数.从0开始第8个智慧数是______,不大于2014的智慧数共有______.
▼优质解答
答案和解析
首先应该先找到智慧数的分布规律.
①∵02-02=0,∴0是智慧,
②因为2n+1=(n+1)2-n2,所以所有的奇数都是智慧数,
③因为(n+2)2-n2=4(n+1),所以所有4的倍数也都是智慧数,而被4除余2的偶数,都不是智慧数.
由此可知,最小的智慧数是0,第2个智慧数是1,其次为3,4,
从5起,依次是5,7,8; 9,11,12; 13,15,16; 17,19,20…
即按2个奇数,一个4的倍数,三个一组地依次排列下去.
∴从0开始第8个智慧数是:9,
∵2014÷4=503…2,
∴不大于2014的智慧数共有:503×3+1+1=1511.
故答案为:9,1511.
①∵02-02=0,∴0是智慧,
②因为2n+1=(n+1)2-n2,所以所有的奇数都是智慧数,
③因为(n+2)2-n2=4(n+1),所以所有4的倍数也都是智慧数,而被4除余2的偶数,都不是智慧数.
由此可知,最小的智慧数是0,第2个智慧数是1,其次为3,4,
从5起,依次是5,7,8; 9,11,12; 13,15,16; 17,19,20…
即按2个奇数,一个4的倍数,三个一组地依次排列下去.
∴从0开始第8个智慧数是:9,
∵2014÷4=503…2,
∴不大于2014的智慧数共有:503×3+1+1=1511.
故答案为:9,1511.
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