某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2-30x+6000元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x

Question

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为 x²-30x+6000元（其中x为产品件数）．
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）=1240-(1)/(30)x²，试问当产量处于什么范围时，工厂4处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？

Answer 1

（1）P（x）=50+(7500+20x)/(x)+(x2−30x+600)/(x)=(8100)/(x)+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2√((8100)/(x)•x)+40=220．当且仅当(8100)/(x)=x，即x=90时，等号成立．
所以P（x）=(8100)/(x)+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．
（2）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=−(1)/(30)x3−x2+1200x−8100，
f′（x）=-(1)/(10)（x-100）（x+120）
当f′（x）＞0时，0＜x＜100，
所以当产量处于{x|x∈N^*，且1≤x＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态．