设an收敛求证相邻奇偶项交换后的级数收敛也有相同的和数RT,

Question

设an收敛求证相邻奇偶项交换后的级数收敛也有相同的和数
RT,

Answer 1

这个简单,设原来级数的部分和为S(n),新级数的部分和为T(n),则有关系式
T(2k) = S(2k)
T(2k-1) = S(2k)-a(2k-1)
其中 k= 1,2,.
因为级数∑a(n)收敛,所以 a(2k-1) 趋近于零,因此
lim T(2k) = lim T(2k-1) = lim S(2k) = S
既然数列T(n)的奇数项子列和偶数项子列都收敛于同一个数S,T(n)本身也必然收敛于S,这就是说,新级数也是收敛的,而且与旧级数有相同的和数S.