求e的-βt次幂(β＞0)的傅里叶变换答案是2β/β∧2＋ω∧2.过程最好可以详细一点,

Question

求e的-βt次幂(β＞0)的傅里叶变换
答案是2β/β∧2＋ω∧2.过程最好可以详细一点,

Answer 1

e^(-βt)不满足在无限区间绝对可积的条件(∫(-∞→＋∞)|e^(-βt)|dt不收敛),所以e^(-βt)的傅里叶变换不存在.题中函数应是e^(-β|t|),该函数的傅里叶变换为F[e^(-β|t|)]=∫(-∞→＋∞)e^(-β|t|)e^(-jωt)dt=∫(-∞→0)e^(βt)e^(-jωt)dt＋∫(0→＋∞)e^(-βt)e^(-jωt)dt=∫(-∞→0)e^[(β-jω)t]dt＋∫(0→＋∞)e^[-(β＋jω)t]dt=[1/(β-jω)]∫(-∞→0)e^[(β-jω)t]d(β-jω)t＋[1/(β＋jω)]∫(＋∞→0)e^[-(β＋jω)t]d[-(β＋jω)t]=1/(β-jω)＋1/(β＋jω),即F[e^(-β|t|)]=2β/(β^2＋ω^2).