三角形内一点到顶点向量的平方和对边向量的平方的和相等,这点为三角形的什么心

Question

三角形内一点到顶点向量的平方和对边向量的平方的和相等,这点为三角形的什么心

Answer 1

是这个题吧：
O为△ABC所在平面内一点,且[OA]^2+[BC]^2=[OB]^2+[CA]^2=[OC]^2+[AB]^2,试证：点O是△ABC的垂心
【证明】
向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
向量BA•（向量OA+向量AC+向量OB+向量BC）=0
向量BA•（向量OC+向量OC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥BC,OB⊥AC
所以点O是△ABC的垂心.