n次齐次函数设二元函数f(x,y),有：f(tx,ty)=t^n·f(x,y),求证：x·(f对x偏导）+y·(f对y偏导）=n·f

Question

n次齐次函数
设二元函数f(x,y),有：
f(tx,ty)=t^n·f(x,y) ,求证：
x·(f对x偏导）+y·(f对y偏导）=n·f

Answer 1

由f(tx,ty)=t^n·f(x,y) 两端对 t求导数,有
[f对第一变量求偏导]*[tx对t求导]
+[f对第二变量求偏导]*[ty对t求导]=
=(nt^n-1)*f(x,y)
化简左端后
[f对第一变量求偏导]*x+
[f对第二变量求偏导]*y
=(n*t^n-1)*f(x,y)
令t=1,即得
x·(f对x偏导）+y·(f对y偏导）=n·f