已知A(0,2)B(2,1),点C在直线x-2y+3=0上移动,求三角形的重心G的轨迹方程

Answer 1

设G点坐标 G(x,y）；AB中点M的坐标 M（xm,ym）；C点坐标 C（xc,yc）
∵xc-2yc+3=0 ∴xc=2yc-3 即 C（2yc-3,yc）
∵2xm=xa+xb => xm=(0+2)/2=1
∵2ym=ya+yb => ym=(2+1)/2=3/2
∴ M（1,3/2)
∵MG：GC=1：2 【由平面几何知识：三角形重心分中线成m/3和2m/3两部分】
∴ x=[xm+(1/2)xc]/(1+1/2) y=[ym+(1/2)yc]/(1+1/2) 【定比分点公式】
=> x=(2/3)[1+(1/2)(2yc-3)]=2/3+1/3(2yc-3)=2/3+2yc/3-1=2yc/3-1/3
y=(2/3)[3/2+(1/2)yc]=1+yc/3
两式消去yc：yc=3y-3 x=2[(3y-3)/3]-1/3=2y-2-1/3=2y-7/3
化为直线一般式：3x-6y+7=0
【以上是根据题意硬做的.做完后,想到了一个巧妙方法：求出三个点坐标,由点斜式方程直接得出.三个点 1）C在AB上时的点P（已知直线与AB所在直线的交点）；2）AB的中点M；3）使MQ/QP=1/2的点Q；斜率k等于已知直线的斜率.（不过这样做了,好像不太令人信服）】