如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h1，h2，h3，则h1，h2，h3之间有什么关系呢？分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根

Question

如图一，已知点P是边长为a的等边△ABC内任意一点，点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃，则h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？
分析：连接PA、PB、PC，则△ABC被分割成三个三角形，根据：
S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：(1)/(2)ah1+(1)/(2)ah2+(1)/(2)ah3＝(√(3))/(4)a2，可得h1+h2+h3＝(√(3))/(2)a．
问题1：若点P是边长为a的等边△ABC外一点（如图二所示位置），点P到三边的距离PD、PE、PF的长分别记为h₁，h₂，h₃．探索h₁，h₂，h₃之间有什么关系呢？并证明你的结论；
问题2：如图三，正方形ABCD的边长为a，点P是BC边上任意一点（可与B、C重合），B、C、D三点到射线AP的距离分别是h₁，h₂，h₃，设h₁+h₂+h₃=y，线段AP=x，求y与x的函数关系式，并求y的最大值与最小值．

Answer 1

问题1：h₁+h₂-h₃=(√(3))/(2)a（2分）
理由：连接PA、PB、PC
∵PE⊥BC，PD⊥BA，且△ABC是边长为a的等边三角形
∴S_△PAB=(ah1)/(2)，S_△PBC=(ah2)/(2)
∴S_{四边形ABCP}=S_△PAB+S_△PBC=(ah1)/(2)+(ah2)/(2)（2分）
又∵S_{四边形ABCP}=S_△APC+S_△ABC=(ah3)/(2)+(√(3))/(4)a2（1分）
∴(ah1)/(2)+(ah2)/(2)=(ah3)/(2)+(√(3))/(4)a2即：h₁+h₂-h₃=(√(3))/(2)a；（1分）


问题2：连接DP、AC
易求：S_△APB+S_△ADP+S_△ACP=(x(h1+h2+h3))/(2)（2分）
易证：S_△DCP=S_△ACP（同底等高）（2分）
而S_{正方形ABCD}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP
∴(xy)/(2)＝a2
∴y=(2a2)/(x)（a≤x≤√(2)a）（2分）
∵2a²＞0
∴y随x的增大而减少
∴当x=√(2)a时，y_最小=√(2)a，当x=a时，y_最大=2a．（2分）