（2013•贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作AC，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．（1）求证：EF是AC

Question

（2013•贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作

AC

，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．
（1）求证：EF是

AC

所在⊙D的切线；
（2）当MA=(3)/(4)时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：过点D作DG⊥EF于G，
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∵EF⊥ME，
∴∠DEM+∠GED=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠MDE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠GED，
∵在△ADE和△GDE中，

∠AED＝∠GED

∠DAE＝∠DGE＝90°

DE＝DE

，
∴△ADE≌△GDE（AAS），
∴AD=GD，
∵

AC

的半径为DC，即AD的长度，
∴EF是

AC

所在⊙D的切线；

（2）MA=(3)/(4)时，ME=MD=2-(3)/(4)=(5)/(4)，
在Rt△AME中，AE=√(ME2−MA2)=√(((5)/(4))2−((3)/(4))2)=1，
∴BE=AB-AE=2-1=1，
∵EF⊥ME，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DAB=∠B=90°，
∴△AME∽△BEF，
∴(MA)/(BE)=(ME)/(EF)，
即((3)/(4))/(1)=((5)/(4))/(EF)，

作业帮用户 2017-09-30 举报