p{font-size:10.5pt;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;}（08年聊城市三模）（12分）如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是

Question

（ 08 年聊城市三模） （ 12 分）    如图所示，△ ABC 为正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，且 CE=CA=2BD ， M 是 EA 的中点 .

   （ I ）证明： DM ∥平面 ABC ；

   （ II ）证明： CM ⊥ DE ；

   （ III ）求平面 ADE 与平面 ABC 所成的二面角的大小（只考虑锐角情况） .

Answer 1

解析: 证明：（ I ）取 AC 的中点 N ，又 M 为 AE 中点，则

∵ BD//CE ，且 BD= ，

∴四边形 BDMN 为平行四边形，则 DM//BN.

平面 ABC ，∴ DM// 平面 ABC. ………… 4 分

   （ II ）∵△ ABC 为正三角形且 N 为 AC 中点，

∴ BN ⊥ AC. ∵ EC ⊥平面 ABC ，∴ EC ⊥ BN.

∴ BN ⊥平面 ACE. ∴ CM ⊥ BN.

∵ DM ∥ BN ，∴ CM ⊥ DM.

∵ CE=CA ，且 M 为 AE 中点，

∴ CM ⊥ AE. 又 AE ∩ MD=M. ∴ CM ⊥平面 ADE.

又∵ DE 平面 ADE ，∴ CM ⊥ DE. ………… 8 分

   （ III ）以 C 为原点，过 C 且垂直于 CB 的直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系（如图），设 CE=1 ，则

   

    令                      ………… 10 分

   

    ∴平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的大小为 45 ° .        ………… 12 分