（2011•聊城二模）已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6=0．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若对任意的x∈[14，2]都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函数g（x）≥t2+t-

Question

（2011•聊城二模）已知函数f（x）=ax³-bx²+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6=0．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[(1)/(4)，2]都有f（x）≥t²-2t-1成立，求函数g（x）≥t²+t-2的最值．

Answer 1

由已知得切点（1，3），f′（x）=3ax²-2bx+9
（1）由题意可

f(1)＝a−b+9+2＝3

f′(1)＝3a−2b+9＝−3

，
解得

a＝4

b＝12

f（x）=4x³-12x²+9x+2，f′（x）=12x²-24x+9，
f′（x）=0得x=(1)/(2)或(3)/(2)，f′（x）＞0，得x＞(3)/(2)x＜(1)/(2)，
f′（x）＜0(1)/(2)＜x＜(3)/(2)，f（x）的单调增区间（(3)/(2)，+∞），（-∞，(1)/(2)），
f（x）的单调减区间（(1)/(2)，(3)/(2)）．

（2）由（1）可知，f（x）的极小值f（(3)/(2)）=2，
f（(1)/(4)）=(57)/(16)，f（2）=4，
∴f（x）[(1)/(4)，2]上的最小值2，
f（x）≥t²-2t-1x∈[

作业帮用户 2017-11-03 举报

问题解析

（1）先求导数f'（x）＜0，以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率，切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．再根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．
（2）先由（1）可f（x）的极大值，及f（x）[(1)/(4)，2]上的最小值2，f（x）≥t²-2t-1，x∈[(1)/(4)，2]上恒成立，求得t的取值范围，最后利用二次函数在某区间上的最值问题，求得g（t）最值．

名师点评

本题考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数在最大值、最小值问题中的应用等基础题知识，考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件．

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