（2014•济宁一模）已知函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex（ax+1），其中a为常数．（Ⅰ）若y=f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当g（x）在区间（1，2）上不是单调函数

Question

（2014•济宁一模）已知函数f（x）=lnx-(a)/(x)，g（x）=e^x（ax+1），其中a为常数．
（Ⅰ）若y=f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，试求函数y=f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）∵（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，
∴f'（x）=(1)/(x)+(a)/(x2)≥0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥-x，
∵-x＜-1，
∴a≥-1．
（Ⅱ）∵g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，
∴g'（x）=e^x（ax+a+1）=0在（1，2）上有解，
∴a≠0且1＜−(a+1)/(a)＜2，
∴-(1)/(2)＜a＜−(1)/(3)，
由f（x）=lnx-(a)/(x)=0得a=xlnx，
令h（x）=xlnx，则h'（x）=1+lnx，
由h'（x）=0，得x=(1)/(e)，
在（0，(1)/(e)）上，h'（x）＜0，此时h（x）是减函数，
在（(1)/(e)，+∞）上，h'（x）＞0，此时h（x）是增函数，
∴当x=(1)/(e)时，h（x）取得极小值，也是最小值为h（(1)/(e)）=-(1)/(e)，
又0＜x＜1时，h（x）＜0，
x≥1时，h（x）≥0，
∴当−(1)/(2)＜a＜−(1)/(e)时，f（x）的零点个数为0，
当a=-(1)/(e)时，f（x）的零点个数为1，
当-(1)/(e)＜a＜−(1)/(3)时，f（x）的零点个数为2．