（2014•潍坊模拟）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C-BGF的体积．

Question

（2014•潍坊模拟）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）
（Ⅲ）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且FG＝(1)/(2)AE＝1，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，BF＝CF＝(1)/(2)CE＝√(2)．
∴S△CFB＝(1)/(2)•√(2)•√(2)＝1，（12分）∴VC−BFG＝VG−BCF＝(1)/(3)•S△CFB•FG＝(1)/(3)（14分）