某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（A）60（B）45（C）30（D）15

Question

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多
面体的顶点数可以是
（ A ）60          （ B ）45             （ C ）30           （ D ）15

Answer 1

C

设这个凸多面体有 n 个面是三角形，则是五边形的面有32－ n 个，此时总棱数
条．
由欧拉定理可知， V ＋32－ E ＝2，
∴ V ＝50－ n ．
又设每个顶点处的棱数为 m 条(其中3≤ m ≤5且 m ∈ N *)，由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数 条，由欧拉定理可知， ，
∴50－ n ＝ (其中3≤ m ≤5且 m ∈ N *)．然后讨论这个不定方程的自然数
当 m ＝3时，可得 n ＝－10，不合题意，舍去；
当 m ＝4时，可得 n ＝20，∴ V ＝30；
当 m ＝5时，可得 n ＝30，∴ V ＝20．