（2013•盐城三模）将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1≤S2．记折痕长为lcm．（1）若l=4，求S1的最大值；（2

Question

（2013•盐城三模）将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．记折痕长为lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范围．

Answer 1

如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S₁的部分内．折痕有下列三种情形：

情形①情形②情形③
①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；
②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；
③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．
（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．
设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．
因为x²+y²≥2xy，当且仅当x=y时取等号，
所以S1＝(1)/(2)xy≤4，当且仅当x=y=2√(2)时取等号，即S₁的最大值为4．
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，
因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则(1)/(2)xy＝16，即y=(32)/(x)，
由

0≤x≤8

0≤(32)/(x)≤6

，解得(16)/(3)≤x≤8，
所以l=√(x2+y2)=√(x2+(322)/(x2))，

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作业帮用户 2017-09-17 举报

问题解析

（1）不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S₁的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三种情形进行讨论：根据S₁的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式．

考点点评：

本题考查利用导数、不等式求函数的最值，考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．

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