（2005•宿迁模拟）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻

Question

（2005•宿迁模拟）两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R（金属导轨及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中．
（1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？
（2）若对金属棒ab解除锁定，如图乙，使金属棒cd获得瞬时水平向右的初速度v₀，当它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？

Answer 1

（1）当cd棒稳定时，恒力F和安培力大小相等，方向相反，以速度v匀速度运动，有：
  F=BIL  ①
又 I＝(BLv)/(2R) ②
联立得：v＝(2FR)/(B2L2) ③
（2）ab棒在安培力作用下加速运动，而cd在安培力作用下减速运动，当它们的速度相同，达到稳定状态时，回路中的电流消失，ab，cd棒开始匀速运动．
设这一过程经历的时间为t，最终ab、cd的速度为v′，通过ab棒的电量为Q．
则对于ab棒，由动量定理得：BILt=2mv′，
又It=Q
即：BLQ=2 mv′④
同理，对于cd棒：-BILt=mv′-mv₀  即：BLQ=m（v₀-v′） ⑤
由④⑤两式得：Q＝(2mv0)/(3BL) ⑥
设整个过程中ab和cd的相对位移为S，由法拉第电磁感应定律得：E＝(△Φ)/(t)＝(BLS)/(t) ⑦
流过ab的电量：Q＝(E)/(2R)t ⑧
由⑥⑦⑧两式得：S＝(4mv0R)/(3B2L2) ⑨
答：
（1）金属棒cd的运动速度是(2FR)/(B2L2)．
（2）流过金属棒ab的电量是(2mv0)/(3BL)．整个过程中ab和cd相对运动的位移是(4mv0R)/(3B2L2)．