（2012•衡水一模）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E作EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M．动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度

Question

（2012•衡水一模）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E作EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M．动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒．
（1）求DE的长；
（2）设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；
（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形？

Answer 1

（1）∵∠C=90°，CD=8，CE=6，
由勾股定理得：DE=√(62+82)，
=10，
答：DE的长是10．

（2）①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC，∠C=90°．
又∵EF⊥AD，
∴∠C=∠FEB=90°，
∴tan∠DBC=(CD)/(BC)＝(ME)/(BE)＝(1)/(2)，
∴ME=BEtan∠DBC=5，
∴MF=3，
∴S_△APM=(1)/(2)×AP×MF=(1)/(2)×3×（10-2t）=-3t+15（0≤t≤5）；
②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，
∵AD∥BC，且AD=BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又∵AD=DE=10，
∴四边形ABED为菱形，
∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，
∴△ABM≌△EBM；
∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，
∴S_△APM=(1)/(2)×AP×MA=(1)/(2)×5×（2t-10）=5t-25（5≤t≤10）；
答：S与t的函数关系式是S=-3t+15（0≤t≤5），或S=5t-25（5≤t≤10）．

（3）当点P在DA上时，
①若MA=MP，
∵MF⊥AD，
∴AP=2AF，
又∵AM=5，FM=3，
∴AF=4，
∴AP=2AF=8，8=10-2t，
∴t=1；
②若AM=AP，
∴AP=5，5=10-2t，
∴t=(5)/(2)；
③若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H，
∵∠PHA=∠MFA=90°，∠PAH=∠MAF，
∴△AHP∽△AFM，
∴AH=(4(10−2t))/(5)，
∴AM=2AH，(8(10−2t))/(5)＝5，
∴t=(55)/(16)；
④当点P在AB上时，
∵∠BAM=90°，
∴只有AM=AP，
∴2t-10=5，
∴t=(15)/(2)；
综上所述，当t=1或t=(5)/(2)或t=(55)/(16)或t=(15)/(2)时，△PMA为等腰三角形．
答：当t=1或t=(5)/(2)或t=(55)/(16)或t=(15)/(2)时，△PMA为等腰三角形．