（2014•唐山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；（Ⅱ）若PA=AB=AC=2，求三棱锥P-EBD的体积．

Question

（2014•唐山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；
（Ⅱ）若PA=AB=AC=2，求三棱锥P-EBD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，
因为BD⊂平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD=120°．
所以S_△ABD=(1)/(2)BD•(1)/(2)AC=√(3)．
设AC∩BD=O，连结OE，则（Ⅰ）可知，BD⊥OE．
所以S_△EBD=(1)/(2)BD•OE=√(6)．
设三棱锥P-EBD的高为h，则
(1)/(3)S_△EBD•h=(1)/(3)S_△ABD•AE，即(1)/(3)×√(6)h=(1)/(3)×√(3)×1，解得h=(√(2))/(2)．
∴V=(1)/(3)S△EBD•h=(√(3))/(3)．