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(2014•唐山二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,BD⊥PC,E是PA的中点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面EBD;(Ⅱ)若PA=AB=AC=2,求三棱锥P-EBD的体积.

题目详情
(2014•唐山二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,BD⊥PC,E是PA的中点.
(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面EBD;
(Ⅱ)若PA=AB=AC=2,求三棱锥P-EBD的体积.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
又BD⊥PC,所以BD⊥平面PAC,
因为BD⊂平面EBD,所以平面PAC⊥平面EBD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以ABCD是菱形,∠BAD=120°.
所以S△ABD=
1
2
BD•
1
2
AC=
3

设AC∩BD=O,连结OE,则(Ⅰ)可知,BD⊥OE.
所以S△EBD=
1
2
BD•OE=
6

设三棱锥P-EBD的高为h,则
1
3
S△EBD•h=
1
3
S△ABD•AE,即
1
3
×
6
h=
1
3
×
3
×1,解得h=
2
2

∴V=
1
3
S△EBD•h=
3
3
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