(2013·雅安）如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,三角形AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论：（1）BE=DF;(2)角DAF=15°;(3)AC垂直平分EF;(4)BE+DF=EF;(5)S三角形CEF=2S三角形ABE.其中正确结论有（）A.2

Question

(2013·雅安）如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,三角形AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论：（1）BE=DF;(2)角DAF=15°;(3)AC垂直平分EF;(4)BE+DF=EF;(5)S三角形CEF=2S三角形ABE.其中正确结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 只需要证（5）,

Answer 1

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）,
∴BE=DF,①正确．
∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°②正确,
∵BC=CD,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,
及CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x,由勾股定理,得
EF=x,CG=x,AG=x,
∴AC=,
∴AB=,
∴BE=﹣x=,
∴BE+DF=x﹣x≠x,④错误,
∵S△CEF=,
S△ABE==,
∴2S△ABE==S△CEF,⑤正确．
综上所述,正确的有4个,故选C．