（2010•雅安三模）二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则1a+4b的最小值是（）A.185B.165C.4D.245

Question

（2010•雅安三模）二次函数y=x²-2x+2与y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直，则(1)/(a)+(4)/(b)的最小值是（　　）
A. (18)/(5)
B. (16)/(5)
C. 4
D. (24)/(5)

Answer 1

∵y=x²-2x+2∴y'=2x-2
∵y=-x²+ax+b的导函数为y'=-2x+a
设交点为（x₀，y₀），则 （2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0
4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0 
   2a-1-4+2b=0，a+b=(5)/(2)    
 (1)/(a)+(4)/(b)=（(1)/(a)+(4)/(b)）×(a+b)/((5)/(2))=[1+4+(b)/(a)+4(a)/(b)]×(2)/(5)≥(2)/(5)×（5+2√((b)/(a)×(4a)/(b))）=(18)/(5)
当且仅当(b)/(a)=4(a)/(b)时等号成立．
故选A．