（2014•梅州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n−1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{bn2n}为等差数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅲ）设数列{b

Question

（2014•梅州二模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn＝2n−1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{(bn)/(2n)}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在常数λ，使得不等式(−1)nλ＜1+(Tn−6)/(Tn+1−6)（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时 a1＝S1＝21−1＝1；
当n≥2时 an＝Sn−Sn−1＝(2n−1)−(2n−1−1)＝2n−1，
因为a₁=1适合通项公式an＝2n−1．
所以 an＝2n−1（n∈N^*）．                                     …（5分）
（Ⅱ）证明：因为 b_n+1-2b_n=8a_n，所以 bn+1−2bn＝2n+2，即(bn+1)/(2n+1)−(bn)/(2n)＝2．
所以{(bn)/(2n)}是首项为(b1)/(21)=1，公差为2的等差数列．
所以(bn)/(2n)＝1+2(n−1)＝2n−1，
所以bn＝(2n−1)•2n．                                       …（9分）
（Ⅲ）存在常数λ使得不等式(−1)nλ＜1+(Tn−6)/(Tn+1−6)（n∈N^*）恒成立．
因为Tn＝1•21+3•22+5•23+…+(2n−3)•2n−1+(2n−1)•2n①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得−Tn＝2+23+24+…+2n+1−(2n−1)•2n+1，
化简得Tn＝(2n−3)•2n+1+6．
因为

作业帮用户 2017-10-27 举报

问题解析

（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；             
（Ⅱ）根据b_n+1-2b_n=8a_n，可得(bn+1)/(2n+1)−(bn)/(2n)＝2，从而可得{(bn)/(2n)}是首项为(b1)/(21)=1，公差为2的等差数列，由此可求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）存在常数λ使得不等式(−1)nλ＜1+(Tn−6)/(Tn+1−6)（n∈N^*）恒成立．利用错位相减法求数列的和，再分类讨论，利用分离参数法，即可得到结论．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列递推式．

考点点评：

本题考查数列的通项，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查存在性问题的探究，考查分离参数法的运用，属于中档题．

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