（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的

Question

（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒(5)/(3)个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer 1

（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；
当t=3时，AN=(5)/(3)t=5=(1)/(2)AB，即N是线段AB的中点；
∴N（3，4）．
设抛物线的解析式为：y=ax（x-6），则：
4=3a（3-6），a=-(4)/(9)；
∴抛物线的解析式：y=-(4)/(9)x（x-6）=-(4)/(9)x²+(8)/(3)x．

（2）过点N作NC⊥OA于C；
由题意，AN=(5)/(3)t，AM=OA-OM=6-t，NC=NA•sin∠BAO=(5)/(3)t•(4)/(5)=(4)/(3)t；
则：S_△MNA=(1)/(2)AM•NC=(1)/(2)×（6-t）×(4)/(3)t=-(2)/(3)（t-3）²+6．
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．

（3）∵Rt△NCA中，AN=(5)/(3)t，NC=AN•sin∠BAO=(4)/(3)t，AC=AN•cos∠BAO=t；
∴OC=OA-AC=6-t，∴N（6-t，(4)/(3)t）．
∴NM=√((6−t−t)2+((4)/(3)t)2)=√((52)/(9)t2−24t+36)；
又：AM=6-t，AN=(5)/(3)t（0＜t≤6）；
①当MN=AN时，