（2013•揭阳二模）如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求证：MN∥平面BCF；（3）若点N为EC的中

Question

（2013•揭阳二模）如图，已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求证：MN∥平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

Answer 1

（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）证法一：过点M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
过点N作NN₁⊥CF交BF于N₁，连结M₁N₁，------------（5分）
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵(MM1)/(AB)＝(FM)/(FA)＝(CN)/(CE)＝(NN1)/(EF)，
∴MM₁=NN₁--------------------------------（7分）
∴四边形MNN₁M₁为平行四边形，----------------------（8分）
∴MN∥N₁M₁，又MN⊄面BCF，N₁M₁⊂面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则(CN)/(NE)＝(FM)/(MA)＝(FG)/(GE)，∴NG∥CF-------------（6分）
又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵∠AEN＝135°，AE＝1，NE＝(√(2))/(2)
由余弦定理得AN²=AE²+EN²-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴AN＝(√(10))/(2)，
即(PA+PN)min＝(√(10))/(2)．-----------------------（14分）