在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y-2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．

Question

在平面直角坐标系xoy中，圆O：x²+y²=1，圆M：（x+a+1）²+（y-2a）²=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为___．

Answer 1

由题意，圆M：（x+a+1）²+（y-2a）²=1（a为实数），圆心为M（-a-1，2a）
从圆M上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP=1．
∵圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，
∴|OM|≤2，
∴（a+1）²+4a²≤4，
∴-1≤a≤(3)/(5)，
故答案为：-1≤a≤(3)/(5)．