为什么与圆x^2+y^2=r^2相切于(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r^2

Question

为什么与圆x^2+y^2=r^2相切于(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r^2

Answer 1

园方程：X^2+Y^2=R^2 是园心在坐标原点,半径为R的园
切点（X1,Y1）满足关系：X1^2+Y1^2=R^2——（1）
将（X1,Y1）代入切线方程：满足（1）式
将切线方程变形一下为：Y=R^2/Y1-X1/Y1*X——（2） （Y1≠0)
Y1=0 ,时,切线方程为：X=±R 满足直线方程：X1*X=R^2
现在只要证明切线与Y坐标轴的交点为：（0,Y2),Y2=R^2/Y1就行了
过切点画一园半径R1,必垂直切线,画一垂线交X坐标轴于X1
那么X1、R1、Y1组成的三角形相似于切线、Y2、R1组成的三角形
就有：R1/Y1=Y2/R1 即：y2=R1^2/Y1 ,而R1=R 所以Y2=R^2/Y1
将点（0,Y2）代入（2）式,方程成立
答：所以切线方程是X1*X+Y1*Y=R^2