将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为多少?(注答案是4+2/3倍根6)

Question

将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为多少?(注答案是4+2/3倍根6)

Answer 1

解法1：
显然4个钢球两两相切且每个钢球与四面体也相切时,这个正四面体的高最小.这时4个钢球的球心构成一个小正四面体,其底面中心到大正四面体距离是小钢球的半径1,设小正四面体顶点距大正四面体顶点为x,大正四面体的棱长为a,高为h,小正四面体的高为m,则h=(1/3*根6*a),m=2/3根6,大正四面体底面中心到底面边的距离n=(1/6*根3*a),侧面斜高y=(1/2*根3*a),由平面几何知识可得x:1=(1/2*根3*a):(1/6*根3*a)=3,得x=3,故h=3+1+m=4+2/3倍根6
解法2:
由题意可知,四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心,当正四面体的表面积最小时,四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体,且两个正四面体有相同的中心.把4个小球的球心连起来,得到棱长为2的正四面体,且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与4个顶点,得到4个正三棱锥.底面积相等,由等体积法知,所以,该比为1/4.而棱长为a的正四面体的高为(1/3*根6*a),所以,棱长为2的正四面体,高为(2/3根6),现在将其中心到侧面的距离4,得到这个正四面体的高的最小值为4+2/3倍根6.