设数列{an}是等差数列，若{an}中存在一项可以表示为该数列的连续三项之和，则称数列{an}为“可拆数列”．（1）若{an}为递增的“可拆数列”，且各项为整数，a1=5，求公差d的取值集合；（2

Question

设数列{a_n}是等差数列，若{a_n}中存在一项可以表示为该数列的连续三项之和，则称数列{a_n}为“可拆数列”．
（1）若{a_n}为递增的“可拆数列”，且各项为整数，a₁=5，求公差d的取值集合；
（2）若{a_n}公差不为零且存在正整数m使a_m+1，a_2m，a_3m成等比数列，求证{a_n}为“可拆数列”；
（3）若{a_n}为“可拆数列”且a₁=2^k（k∈N⁺），S_n表示数列{a_n}的前n项和，当{a_n}公差最大时，求满足200S_k＞a_k²的正整数k的最大值．

Answer 1

（1）由题意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差数列的通项公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1），
整理得d=(a1)/(k−p−q+1)，
若a₁=5，则d=(5)/(k−p−q+1)，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，5，
故d的取值集合为 {1，5}；
（2）证明：∵a_m+1，a_2m，a_3m成等比数列，
∴a_2m²=a_m+1a_3m，
∴[a₁+（2m-1）d]²=（a₁+md）[a₁+（3m-1）d]，
∵{a_n}公差不为零，
∴d=(a1)/(m2−3m+1)，
由（1）知k-p-q=m²-3m时，{a_n}为“可拆数列”；
（3）由（1）知，当{a_n}公差最大时，d=a₁=2^k，
∴S_k=k•2^k+(k(k−1))/(2)•2^k=(k(k+1))/(2)•2^k，
∵200S_k＞a_k²，
∴200•(k(k+1))/(2)•2^k＞k²•2^2k，
∴100（k+1）＞k•2^k，
∴满足200S_k＞a_k²的正整数k的最大值为7．