光滑的长轨道形状如图所示，下部为半圆形，半径为R，固定在竖直平面内．质量分别为m、2m的两小环A、B用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上，A环距轨道底部高为2R．现将A、B两环从图示

Question

光滑的长轨道形状如图所示，下部为半圆形，半径为R，固定在竖直平面内．质量分别为m、2m的两小环A、B用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上，A环距轨道底部高为2R．现将A、B两环从图示位置静止释放．重力加速度为g．求：

（1）A环到达轨道底部时，两环速度大小；
（2）运动过程中A环距轨道底部的最大高度；
（3）若仅将轻杆长度增大为2√(2)R，其他条件不变，求运动过程中A环距轨道底部的最大高度．

Answer 1

（1）A、B都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，
对系统，由机械能守恒定律得：mg•2R+2mg•(5)/(2)R=(1)/(2)（m+2m）v²，解得：v=√((14)/(3)gR)；
（2）运动过程中A环距轨道最低点的最大高度为h₁，如图所示，整体机械能守恒：
mg•2R+2mg•3R=2mg（h-R）+mgh，解得：h=(10)/(3)R；
（3）若将杆长换成2√(2)R，A环离开底部的最大高度为h₂．如图所示．
整体机械能守恒：mg•2R+2mg（2R+2√(2)R）=mgh′+2mg（h′+2R），
解得：h′=(2+4√(2))/(3)R；
答：（1）A环到达轨道底部时，两环速度大小为√((14)/(3)gR)；
（2）运动过程中A环距轨道底部的最大高度为(10)/(3)R；
（3）若仅将轻杆长度增大为2√(2)R，其他条件不变，运动过程中A环距轨道底部的最大高度为(2+4√(2))/(3)R．