如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两

题目详情

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x² ﹣2x﹣3=0的两根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD。
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标。

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答案和解析

解（1）解方程x² ﹣2x﹣3=0，得 x₁ =3，x₂ =﹣1，
∵m＜n，
∴m=﹣1，n=3，
∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
∴ 解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ 解得：，
∴直线AB的解析式为，
∴C点坐标为（0，），
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），
∴直线OB的解析式为y=﹣x，
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC，
设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时，，
解得，（舍去），
∴P₁ （，），
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P₂ （，﹣ ），
（iii）当OC=PC时，由，解得，x₂ =0（舍去），
∴P₃ （，﹣ ），
∴P点坐标为P₁ （，）或P₂ （，﹣ ）或P₃ （，﹣ ），
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H，
设Q（x，﹣x），D（x，），
S_△BOD =S_△ODQ +S_△BDQ = DQ·OG+ DQ·GH，
= DQ（OG+GH），
= ，
= ，
∵0＜x＜3，
∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣ ）。