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求:介值定理的证明请问微积分学中介值定理是怎样证明的?书中没有.
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求:介值定理的证明
请问微积分学中介值定理是怎样证明的?
书中没有.
请问微积分学中介值定理是怎样证明的?
书中没有.
▼优质解答
答案和解析
介值定理是说,对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在最大值M与最小值m之间的任意实数ζ,总可以在该函数定义域内找到一个点c,使得f(c)=ζ.
证明如下:若M=m,命题显然成立;
若m<M,由于闭区间上的连续函数f(x)比有最大(小)值,因此设f(x(1))=m,f(x(2))=M,并且
a≤x(1)<x(2)≤b,若f(x(1))=ζ或者f(x(2))=ζ,则取c=x(1)或者x(2)即可,若m<ζ<M,
作函数g(x)=f(x)-ζ,从而g(x(1))=f(x(1))-ζ<0,g(x(2))=f(x(2))-ζ>0,这样在区间
(x(1),x(2))内存在一点c,使得g(c)=f(c)-ζ=0,即f(c)=ζ.
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内存在一点c,满足f(c)=0.
证明如下:若M=m,命题显然成立;
若m<M,由于闭区间上的连续函数f(x)比有最大(小)值,因此设f(x(1))=m,f(x(2))=M,并且
a≤x(1)<x(2)≤b,若f(x(1))=ζ或者f(x(2))=ζ,则取c=x(1)或者x(2)即可,若m<ζ<M,
作函数g(x)=f(x)-ζ,从而g(x(1))=f(x(1))-ζ<0,g(x(2))=f(x(2))-ζ>0,这样在区间
(x(1),x(2))内存在一点c,使得g(c)=f(c)-ζ=0,即f(c)=ζ.
需要说明的就是上述证明中用到如下的定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内存在一点c,满足f(c)=0.
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