无穷级数n!(e/n)^n的敛散性问题~书上给出了级数n!(e/n)^n是发散的,可是没给证明~请问高人如何证明此级数的敛散性?

Question

无穷级数n!(e/n)^n的敛散性问题~
书上给出了级数n!(e/n)^n是发散的,可是没给证明~请问高人如何证明此级数的敛散性?

Answer 1

a[n+1]=(n+1)![e/(n+1)]^(n+1)
a[n]=n!(e/n)^n
a[n+1]/a[n]
=(n+1)![e/(n+1)]^(n+1)/[n!(e/n)^n]
=(n+1)e/{(n+1)[(n+1)/n]^n}
=e/[(1+1/n)^n]
要注意：(1+1/n)^n1
∴此级数一般项是递增的,不可能趋于0
不满足级数收敛的必要条件
∴此级数发散