设幂级数∞n＝0anxn在（-∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y″-2xy′-4y=0，y（0）=0，y′（0）=1．（1）证明：an+2＝2n+1an，n=1，2，…（2）求y（x）的表达式．

Question

设幂级数

∞

n＝0

anxn 在（-∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y″-2xy′-4y=0，y（0）=0，y′（0）=1．
（1）证明：an+2＝(2)/(n+1)an，n=1，2，…
（2）求y（x）的表达式．

Answer 1

（1）证明：
令y（x）=

∞

n＝0

a_nxⁿ，
则：y'=

∞

n＝1

na_nx^n-1，y″=

∞

n＝2

n（n-1）a_nx^n-2；
根据题意有：
y″-2xy'-4y=0
将y'，y″，y代入上述的等式得：

∞

n＝2

n（n-1）a_nx^n-2-2x

∞

n＝1

na_nx^n-1-4

∞

n＝0

a_nxⁿ=0
即：

∞

n＝0

（n+2）（n+1）a_n+2xⁿ-2

∞

n＝0

na_nxⁿ-4

∞

n＝0

a_nxⁿ=0
固有：（n+2）（n+1）a_n+2-2na_n-4a_n=0
化简得：
a_n+2=(2)/(n+1)a_n
命题得证．
（2）根据题意有：
y（0）=0，y′（0）=1．
而：y（0）=a₀；
y′（0）=a₁；
∴a₀=0，a₁=1；
根据（1）的递推关系有：
a_n+2=(2)/(n+1)a_n
于是：
a_2n+1=(2)/(2n)a_2n-1=(2)/(2n)(2)/(2n−2)a_2n-3=(2)/(2n)(2)/(2n−2)…(2)/(2)a₁=(1)/(n!)a₁=(1)/(n!)；
a_2n=(2)/(2n−1)a_2n-2=(2)/(2n−1)

作业帮用户 2016-11-25 举报

问题解析

（1）先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系；
（2）根据（1）的结论，得到a_n的表达式，进而可以求解．

名师点评

本题考点：

幂级数和函数的性质；初等函数的幂级数展开式．

考点点评：

本题主要考察幂函数的性质，第一问的思路较简单，第二问在第一问的结论上进行求解．属于中档题．

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