在△ABC内取一点P,使∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E，M为BC中点，求证：DM=EM

Question

在△ABC内取一点P,使∠PBA=∠PCA,作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E，M为BC中点，求证：DM=EM

Answer 1

取PC中点F，取PB中点G，连接EF，MF，DG，MG 因PD垂直AB，PE垂直AC，则角PDB=角PEC=90度 又G为直角三角形PDB斜边BP中点，则DG=BG=PG=BP/2，角EFP=2角PCA 同理得EF=PF=CF=PC/2，角DGP=2角PBA 因角PCA=角PBA，则角DGP=角EFP 因M为BC中点，F为PC中点，则MF平行PG 同理得MG平行PF 则PFMG为平行四边形 则角PGM=角PFM，则MF=PG=DG，MG=PF=EF 则角PGM+角DGP=角PFM+角EFP 则角DGM=角MFE 又DG=MF，MG=EF(前面已证) 则三角形DGM全等MFE 则DM=EM
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