证明a-b是多项式f(x)=x^3-(a-3b)x^2-b(2a-3b)x+b^3-ab^2的根,并把f(x)因式分解.

Question

证明a-b是多项式f(x)=x^3-(a-3b)x^2-b(2a-3b)x+b^3-ab^2的根,并把f(x)因式分解.

Answer 1

把X=a-b代入f(x)=x^3-(a-3b)x^2-b(2a-3b)x+b^3-ab^2中展开得
a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-a^3+2a^2b-ab^2+3a^2b-6ab^2+3b^3-2a^2b+5ab^2-3b^3+b^3-a^2b
=0
所以a-b是方程的一个根
让x^3-(a-3b)x^2-b(2a-3b)x+b^3-ab^2除以(X-a+b)得x^2+2bx+b^2
f(x)=x^3-(a-3b)x^2-b(2a-3b)x+b^3-ab^2=(x-a+b)(x^2+2bx+b^2)