如图1，对△ABC，D是BC边上一点，连结AD，当AB2AC2=BDCD时，称AD为BC边上的“平方比线”．同理AB和AC边上也存在类似的“平方比线”．（1）如图2，△ABC中，∠BAC=RT∠，AD⊥BC于D．证明：AD为BC边

Question

如图1，对△ABC，D是BC边上一点，连结AD，当(AB2)/(AC2)=(BD)/(CD)时，称AD为BC边上的“平方比线”．同理AB和AC边上也存在类似的“平方比线”．
（1）如图2，△ABC中，∠BAC=RT∠，AD⊥BC于D．
证明：AD为BC边上的“平方比线”；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，B（-4，0），C（1，0），在y轴的正半轴上找一点A，使OA是△ABC中BC边上的“平方比线”．
①求出点A的坐标；
②如图4，以M（(8)/(3)，0）为圆心，MA为半径作圆，在 M上任取一点P（与x轴交点除外）吗，连结PB，PC，PO．求证：PO始终是△PBC中BC边上的“平方比线”．

Answer 1

（1）∵∠BAC=RT∠，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠BDA=∠BAC=90°，
∴△BAD∽△BCA，
∴(AB)/(BC)=(BD)/(AB)，
∴AB²=BD×BC，
同理可得；AC²=CD×BC，
∴(AB2)/(AC2)=(BD)/(CD)，
∴AD为BC边上的“平方比线”．
（2）①设A（0，m）（m>0），
则OA=m，而OB=4，OC=1，
所以AB²=m²+16，AC²=m²+1，
∵OA为BC边上的“平方比线”，
∴(AB2)/(AC2)=(BO)/(CO)，
∴(m2+16)/(m2+1)=4，
解得：m=2
∴A（0，2）．
②证明：连结PM，如图4，

则PM=AM=√(((8)/(3))2+4)=(10)/(3)，
∵MC×MB=(5)/(3)×(20)/(3)=(100)/(9)=PM²，
∴(PM)/(MC)=(MB)/(PM)，
∵∠PMC=∠PMB，
∴△MPC∽△MBP，
∴(PC)/(BP)=(MC)/(PM)=(1)/(2)
∴(PC2)/(BP2)=(1)/(4)=(OC)/(OB)
∴PO始终是BC边上的“平方比线”．