如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A⇒B⇒C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A⇒D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点

Question

如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A⇒B⇒C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A⇒D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm²．

（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．

Answer 1

（1）当0≤x≤1时，AP=2x，AQ=x，y=(1)/(2)AQ•AP=x²，
即y=x²．
（2）当S_{四边形ABPQ}=(1)/(2)S_{正方形ABCD}时，橡皮筋刚好触及钉子，
BP=2x-2，AQ=x，(1)/(2)（2x-2+x）×2=(1)/(2)×2²，∴x=(4)/(3)．
（3）当1≤x≤(4)/(3)时，AB=2，PB=2x-2，AQ=x，
∴y=(AQ+BP)/(2)•AB＝(x+2x−2)/(2)×2=3x-2，
即y=3x-2．
作OE⊥AB，E为垂足．
当(4)/(3)≤x≤2时，
BP=2x-2，AQ=x，OE=1，y=S_梯形BEOP+S_梯形OEAQ=(1+2x−2)/(2)×1+(1+x)/(2)×1=(3)/(2)x，
即y=(3)/(2)x．（6分）
90°≤∠POQ≤180°．

（4）如图所示：
．