二.已知函数f(x)对任意的u,v属于R都有f(u+v)=f(u)+f(v)-2,当x大于0时,f(x)大于21.证明:f(x)是R上的增函数2.当f(4)=6时,x取全体实数时式子f(x^2-4x+t+5)大于4恒成立,试求t的取值范围

Question

二.已知函数f(x)对任意的u,v属于R都有f(u+v)=f(u)+f(v)-2,当x大于0时,f(x)大于2
1.证明:f(x)是R上的增函数
2.当f(4)=6时,x取全体实数时式子f(x^2-4x+t+5)大于4恒成立,试求t的取值范围

Answer 1

1.证明:易得f(0)=2,则f(x)+f(-x)-2=f(0) f(x)+f(-x)=4 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
令x1=x2+m,x1>x2,且x1、x2∈R.则m>0且f(m)>2
则f(x1)-f(x2)=f(x2)+f(m)-2-f(x2)
=f(m)-2
>0
即在R上,x1>x2时f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的增函数 .
2.f(4)=6则f(2)=4
故有x^2-4x+t+5恒大于2
即x^2-4x+t+3>0恒成立
(x-2)^2+t-1>0恒成立
所以t-1>0 即t>1 t取值范围是(1,+无穷)