已知a、b∈R，当x>0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（）A.-1B.0C.1eD.1

Question

已知a、b∈R，当x>0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，则a+b的最小值为（　　）

A. -1

B. 0

C.

(1)/(e)

D. 1

Answer 1

令y=lnx-ax-b，
则y′=(1)/(x)-a=(1-ax)/(x)（x>0），
当a≤0时，y′>0，函数递增，无最值．
当a>0时，0<x<(1)/(a)时，y′>0，函数递增；当x>(1)/(a)时，y′<0，函数递减．
则x=(1)/(a)处取得极大值，也为最大值，且为-lna-1-b．
当x>0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，
即有-lna-1-b≤0，
即b≥-1-lna，
a+b≥a-1-lna，
令f（a）=a-1-lna，f′（a）=1-(1)/(a)=(a-1)/(a)，
当a>1时，f′（a）>0，f（a）递增；当0<a<1时，f′（a）<0，f（a）递减．
则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0．
即有a+b≥0．
即有a+b的最小值为0．
故选：B．