如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：(1)

Question

如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2
,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数：个；
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P的度数；

Answer 1

：（1）在△AOD中,∠AOD=180°-∠A-∠D,
在△BOC中,∠BOC=180°-∠B-∠C,
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等）,
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,为△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,为△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△CON与△AOD,
以N为交点有1个,为△ANP与△CNB,
所以,“8字形”图形共有6个；
（3）∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB-∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
1
2
∠OAD,∠PCM=
1
2
∠OCB,
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=
1
2
（∠OAD-∠OCB）+∠D=
1
2
×（-4°）+40°=38°；
（4）根据“8字形”数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
所以,∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠DAM=∠D-∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
1
2
∠OAD,∠PCM=
1
2
∠OCB,
∴
1
2
（∠D-∠B）=∠D-∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D．