关于等价无穷小代换的易错点我们都知道等价无穷小在作加法的时候是不能进行替换的,但是我在想如求lim[（A+B）/C]（1）时,此时A和B应都不能用

Question

关于等价无穷小代换的易错点
我们都知道等价无穷小在作加法的时候是不能进行替换的,但是我在想如求lim[（A+B）/C]

（1）
时,此时A和B应都不能用等价无穷小来替换,可是原式可变为
limA/C+limB/C

（2）
,这时A和B不就都可以用等价无穷小来替换了么?如A~D,B~E,则等价为
limD/C+limE/C
（3）

,根据极限的运算规则,（3）式等于
lim[（D+E）/C]

（4）
则得到（4）=（1）
究竟错在哪里?

Answer 1

“我们都知道等价无穷小在作加法的时候是不能进行替换的”-------------这不是绝对正确的.这是一条对初学者既有利又有害的,急功近利的规则,对优秀的学生害大于利.用“等价无穷小代换”计算极限看似很方便,但由于用“等价无穷小代换”在函数加、减时可能造成无穷小阶的变化,所以老师人为地制造了这个规则.你不必在这儿过于纠结.等学过泰勒公式后,你就会明白老师为什么要在这儿加这一条限制规则了.