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选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)(1)(不等式选讲)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a),当函数f(x)的定义域为R时,则实数a的取

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选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
(1)(不等式选讲)已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a),当函数f(x)的定义域为R时,则实数a的取值范围为______
(2)(几何证明选讲)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB,垂足为D,且AD=5DB,设∠COD=θ,则tanθ的值为
5
2
5
2


(3)(坐标系与参数方程)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为______.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数f(x)的定义域为R,∴|x-1|+|x-5|-a>0对于x∈R恒成立,
而|x-1|+|x-5|-a>0对于x∈R恒成立⇔a<(|x-1|+|x-5|)min
令g(x)=|x-1|+|x-5|=
2x−6,当x>5时
4,当1≤x≤5时
−2x+6,当x<1时
,可知g(x)min=4,∴a<4.
(2)连接AC,BC,∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,∴CD2=AD×DB,
∵AD=5DB,∴CD2=5DB2,∴CD=
5
DB.
∵r=
AD+DB
2
=3DB,∴OD=r-DB=2DB.
在Rt△OCD中,tanθ=
CD
OD
=
5
DB
2DB
=
5
2

(3)圆O1的极坐标方程ρ=4cosθ可以化为ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x-2)2+y2=4,∴圆心O1(2,0);
圆O2的极坐标方程ρ=-4sinθ可化为ρ2=4ρsinθ,∴x2+y2=4y,配方得x2+(y-2)2=4,∴圆心O2(0,2).
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 y=
0−2
2−0
x+2,即y=x+2.
故答案分别为(-∞,4),
5
2
,y=x+2.
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