已知｛an｝是各项都为正数的数列,其前N项和为Sn,且满足2anSn-an^2=1求数列｛an｝的通项要过程,

Question

已知｛an｝是各项都为正数的数列,其前N项和为Sn,且满足2anSn-an^2=1
求数列｛an｝的通项要过程,

Answer 1

n=1时,2a1S1-a1²=1 2a1²-a1²=1
a1²=1
数列各项均为正,a1>0
a1=1
n≥2时,
2anSn-an²=1
2[Sn-S(n-1)]Sn-[Sn-S(n-1)]²=1
2Sn²-2SnS(n-1)-Sn²+2SnS(n-1)-S(n-1)²=1
Sn²-S(n-1)²=1,为定值.
S1²=a1²=1,数列{Sn²}是以1为首项,1为公差的等差数列.
Sn²=1+1×(n-1)=n
数列各项均为正,an>0,因此Sn>0
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
n=1时,a1=√1-√0=1-0=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=√n -√(n-1).
注意：一定要分n=1和n≥2两种情况讨论,否则n=1时,S(n-1)无定义.