数论题a^p-1的单质因数是a-1的因数或形如2px+1的质数x是整数p是质数

Question

数论题 a^p-1的单质因数是a-1的因数或形如2px+1的质数
x是整数
p是质数

Answer 1

当p=2时 易证成立
下证 p为奇质数时的情况
a^p-1=(a-1) [a^(p-1) +a^(p-2) .+1]
由费马小定理 a^(p-1)≡1(modp)
a^(p-1)=mp+1
[a^(p-2) .+1]=[a^(p-1)-1]/(a-1)=mp/(a-1)
所以[a^(p-2) .+1]有因数p
[a^(p-1) +a^(p-2) .+1]共有 p项 即奇数项
除去最后一项1 还有偶数项
无论a为奇数还是偶数
[a^(p-1) +a^(p-2) .+a] 均为偶数
综上 [a^(p-1) +a^(p-2) .+1]=2px+1
即 a^p-1 =(a-1)(2px+1)
下证 2px+1的质因数 形式 也为2px+1
未完