对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1与x轴交于两点An、Bn，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|的值为2010201120102011

Question

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于两点A_n、B_n，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值为

(2010)/(2011)

(2010)/(2011)

Answer 1

由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根与系数的关系可得，xAn+xBn=(2n+1)/(n2+n)，xAnxBn=(1)/(n2+n)①
因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|=√((xAn+xBn)2−4xAnxBn)②
将①中的数据代入②整理得|A_nB_n|=(1)/(n)-(1)/(n+1)
故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+…+(1)/(2010)-(1)/(2011)=(2010)/(2011)
故应填(2010)/(2011)．