四边形ACDE是证明勾股定理用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：若x=-1是

Question

四边形ACDE是证明勾股定理用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=√(2)c，这时我们把关于x的形如ax²+√(2)cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：若x=-1是“勾系一元二次方程”ax²+√(2)cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．

Answer 1

当x=-1时，有a-√(2)c+b=0，即a+b=√(2)c
∵2a+2b+√(2)c=6，即2（a+b）+√(2)c=6
∴3√(2)c=6
∴c=√(2)
∴a²+b²=c²=2，a+b=2，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab
∴ab=1
∴S_△ABC=(1)/(2)ab=(1)/(2)．