下图是由一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1记OA1OA2OA3…OA7OA8的长度所成的数列为{ln}(n∈N1≤n≤8).(1)写出数列的前4项;(2)求{ln}的通项

Question

下图是由一连串直角三角形演化而成的 其中OA ₁ =A ₁ A ₂ =A ₂ A ₃ =…=A ₇ A ₈ =1 记OA ₁ OA ₂ OA ₃ … OA ₇ OA ₈ 的长度所成的数列为{l _n }(n∈N 1≤n≤8).

(1)写出数列的前4项;

(2)求{l _n }的通项公式;

(3)如果把图中的直角三角形继续作下去 那么OA ₉ OA _{2 000} 的长分别是多少?

Answer 1

解:(1)∵l ₁ =OA ₁ =1

    由勾股定理 得

l ₂ = = =

l ₃ = = =

l ₄ = = =2.

(2)观察{l _n }的前n项 可以发现数列的项恰好是序号的算术平方根 即有通项公式a _n = .

(3)OA ₉ =l ₉ = =3 OA _{2 000} =l _{2 000} = =20 .