2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%.从2008年开始,计划每年将非绿化面积的8%绿化.由于修路和盖房用地,原有绿化面积的2%被非绿化.1、设全县的总面积为1,2007年底绿化面积为a1=4/10.经过n

Question

2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%.从2008年开始,计划每年将非绿化面积的8%绿化.由于修路
和盖房用地,原有绿化面积的2%被非绿化.1、设全县的总面积为1,2007年底绿化面积为a1=4/10.经过n年后的绿化面积为a（n+1）.试用an表示a（n+1）； 2、求数列{an}的第n+1项a（n+1）； 3、至少需经过多少年的努力,才能使绿化率超过60%?（lg2=0.3010,lg3=0.4771）
a（n+1）为数列第n+1项

Answer 1

解题过程中"^"表示乘方符号
（1)设现有非绿化面积为b1,经过n年后非绿化面积为b(n+1).
于是a1+b1=1,an+bn=1.
依题意,a(n+1)是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分（2/100)an
后剩余的面积(98/100)an,另一部分是新绿化的面积(8/100) bn,于是
a(n+1)
=(98/100)an+（8/100)bn
=(98/100)an+(8/100)(1-an)
=(9/10)an+2/25.
(2)对a(n+1)=(9/10)an+2/25变形,得a(n+1)-4/5=(9/10)(an-4/5)
从而数列{an-4/5}是公比为9/10,首项a1-4/5=4/10-4/5=-2/5的等比数列.
故a(n+1)-4/5=(-2/5)(9/10)^n
从而a(n+1)=(-2/5)(9/10)^n+4/5.
(3)由题意须a（n+1）＞60%,即：(-2/5)(9/10)^n+4/5＞3/5,
从而（9/10)^n＜1/2,
n(lg9-1)＜－lg2,
从而n＞lg2/(1-2lg3)≈6.5720
取整数至少需要7年,绿化率才能超过60%.