已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. （1）求证：EG=CG；EG⊥CG（2）将图（1）中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图（2）所示,取DF中点G,连接EG,CG,问（

Question

已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
   
（1）求证：EG=CG；EG⊥CG
（2）将图（1）中△BEF绕B点逆时针旋转45°,如图（2）所示,取DF中点G,连接EG,CG,问（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由；
（3）将图（1）中△BEF绕B点旋转任意角度,如图（3）所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍然成立?

 

Answer 1

（1）证明：在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴,
同理,在Rt△DEF中,
∴CG=EG；
（2）（1）中结论仍然成立,即EG=CG；
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点,
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DC=DC,
∴△DAG≌△DCG,
∴AG=CG,
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,DG=FG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG,
∴MG=NG,
在矩形AENM中,AM=EN.,
在Rt△AMG与Rt△ENG中,
∵AM=EN,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG,
∴AG=EG,
∴EG=CG,
（3）（1）中的结论仍然成立,即EG=CG,其他的结论还有：EG⊥CG.
http://www.tigu.cn/question_50116705.htm