如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，将矩形ABCD沿直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB=3，BC=5，求CE的长；（3）当ABBC为何值时，△FCE∽△AFE？并说明理

Question

如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，将矩形ABCD沿直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．

（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB=3，BC=5，求CE的长；
（3）当(AB)/(BC)为何值时，△FCE∽△AFE？并说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=5，AB=CD=3，
∵△AFE是由△ADE翻折得到，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

（2）∵△AFE是由△ADE翻折得到，
∴AD=AF=5，EF=DE，设DE=EF=x，
在Rt△ABF中，BF=√(AF2-AB2)=√(52-32)=4，
∴FC=BC-BF=1，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴x²=（3-x）²+1²，
∴x=(5)/(3)．

（3）∵△FCE∽△AFE，△ABF∽△FCE，
∴∠EFC=∠FAE=∠BAF，
∵△AFE是由△ADE翻折得到，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠DAE=∠BAF=30°，设ED=EF=a，则AD=√(3)a，EC=(1)/(2)a，
∴AB=CD=(3)/(2)a，BC=AD=√(3)a，
∴(AB)/(BC)=((5)/(2)a)/(√(3)a)=(5√(3))/(6)．
∴(AB)/(BC)=(5√(3))/(6)时，△FCE∽△AFE．